Duration e Convexidade

1.A pergunta que a marcação a mercado deixa em aberto

O curso Fundamentos dos ETFs de Renda Fixa estabeleceu o ponto de partida: renda fixa não é preço fixo. O fluxo de caixa do título é conhecido na largada, mas o preço de sair antes do vencimento muda todo dia, porque o mercado muda a taxa que exige para aqueles mesmos fluxos. Falta responder a pergunta seguinte, que é a que decide alocação: quanto?

Duration e convexidade existem exatamente para isso. A primeira transforma "a cota balança" em um número que você multiplica pelo tamanho do choque de juros. A segunda corrige esse número quando o choque é grande — porque a relação entre preço e taxa não é uma reta, é uma curva. Este curso transforma as duas em ferramenta de trabalho.

A relação fundamental, em uma linha

O material oficial do Tesouro Direto explica essa mecânica com um exemplo que vamos usar do começo ao fim deste curso, porque ele tem uma virtude rara: é um título sem cupom, o que torna cada conta verificável à mão.

A fórmula que liga preço e taxa é a do próprio documento: Preço = VN ÷ (1 + taxa)^(DU/252). Substituindo, 1.000 ÷ (1,1088)^(755/252) = R$ 733,8687. O documento publica R$ 733,86 porque os preços negociados no Tesouro Direto são truncados na segunda casa decimal — não arredondados. É por isso que você encontra 733,86 e 733,87 na literatura sobre esse mesmo exemplo, e nenhum dos dois está errado.

2.Duration: a intuição correta

Duration tem duas leituras, e elas são a mesma coisa vista de dois ângulos. A leitura temporal: quanto tempo, em média ponderada a valor presente, o investidor leva para receber o dinheiro. A leitura econômica: quão sensível o preço é a mudanças na taxa de juros. A segunda é consequência matemática da primeira.

Vencimento não é duration

A propriedade que organiza tudo

Em um título zero cupom, todo o dinheiro chega no vencimento. Não há fluxo intermediário para puxar a média para trás, então a duration de Macaulay é igual ao prazo até o vencimento. Assim que o título passa a pagar cupons, parte do valor econômico chega antes e a duration fica menor que o vencimento.

3.Duration de Macaulay: a média ponderada do tempo

A duration de Macaulay é a média ponderada dos prazos de cada fluxo de caixa. O peso de cada fluxo não é o valor nominal dele: é a participação do seu valor presente no preço total do título.

• Fluxos mais distantes entram com um t maior e puxam a duration para cima.
• Cupons antecipam parte do valor econômico e puxam a duration para baixo em relação a um zero cupom de mesmo vencimento.
• Quando a taxa de desconto muda, os valores presentes mudam — e os pesos junto. A duration não é uma constante do título: ela se move.
• A duration de uma carteira é construída a partir da duration dos componentes, ponderada por valor de mercado, desde que as métricas sejam compatíveis entre si.

No exemplo do Tesouro Prefixado

Como o título do exemplo é um zero cupom, a conta acima colapsa em um único termo: a duration de Macaulay é o prazo. São 755 dias úteis, que no padrão brasileiro de 252 dias úteis por ano equivalem a 2,9960 anos (755 ÷ 252). É esse número que entra em tudo o que vem a seguir.

4.Duration modificada: de tempo para preço

A duration modificada converte a medida de tempo em uma aproximação local da sensibilidade do preço à taxa. Na convenção anual simples, que é a do nosso exemplo, ela é a duration de Macaulay dividida por (1 + taxa).

Aplicando aos dados oficiais

Daí nasce a regra de bolso que circula no mercado: "duration 2,7 significa cerca de 2,7% de variação de preço para cada 1 ponto percentual de taxa". Ela é útil, é rápida e funciona bem — para movimentos pequenos. O curso inteiro, daqui para a frente, é sobre onde ela começa a falhar e o que se faz a respeito.

5.Estudo de caso: o erro da linha reta

A duration é uma aproximação linear: geometricamente, ela é a reta tangente à curva de preço × taxa no ponto em que você está hoje. Só que o preço real segue a curva, não a reta. Quanto mais o choque de taxa afasta você do ponto inicial, mais a reta e a curva se separam.

Um choque de +100 pontos-base, pelos três caminhos

Para 100 pontos-base, neste zero cupom relativamente curto, a diferença é modesta: a reta erra 0,048 ponto percentual, e sempre para o mesmo lado — ela exagera a queda. Mas o erro não cresce na mesma proporção do choque: ele cresce com o quadrado dele. É essa a razão de existir do próximo conceito.

6.Convexidade: a curvatura que a reta ignora

Convexidade mede como a própria sensibilidade muda quando a taxa muda. Se a duration responde "quanto o preço se move agora", a convexidade responde "e quanto essa resposta se altera à medida que a taxa anda". Em termos geométricos, é a curvatura que a reta tangente, por construção, não consegue enxergar.

Por que ela existe

Porque descontar fluxos de caixa não produz uma reta. Cada fluxo é dividido por (1 + y) elevado ao seu prazo, e essa operação é curva por natureza. Em títulos tradicionais, sem opções embutidas, a curva tem a concavidade voltada para cima — o que o mercado chama de convexidade positiva.

• Quando a taxa cai, o ganho de preço tende a ser um pouco maior do que a reta da duration sugeriria.
• Quando a taxa sobe, a perda de preço tende a ser um pouco menor do que a reta sugeriria.
• Quanto maior o movimento de taxa, mais o termo de convexidade pesa — ele entra ao quadrado.
• Convexidade não substitui duration. Ela é a correção de segunda ordem de uma estimativa que continua sendo de primeira ordem.

E a convexidade negativa?

Aparece quando os fluxos podem mudar de forma desfavorável justamente quando as taxas se movem — o caso clássico são títulos resgatáveis antecipadamente pelo emissor e estruturas ligadas a hipotecas, em que a queda de juros dispara pré-pagamentos. Não é o caso dos títulos públicos brasileiros simples que sustentam os índices e os ETFs deste curso, mas é a razão pela qual "convexidade é sempre positiva" é uma frase falsa.

7.Duration + convexidade: a estimativa de segunda ordem

Somando o termo de curvatura, a estimativa deixa de ser uma reta e passa a ser uma parábola — bem mais parecida com a curva verdadeira.

O exemplo oficial, choque a choque

Para o Tesouro Prefixado 2015, a convexidade derivada dos mesmos dados é 9,7380. A tabela abaixo aplica os dois métodos contra o preço exato, recalculado título por título:

Leia a última linha com atenção. Num choque de 300 pontos-base para cima, a reta da duration erra 0,419 ponto percentual de preço; acrescentando a convexidade, o erro cai para 0,019 — cerca de vinte vezes menor. E olhe o sinal: a duration sozinha teria mandado o investidor se preparar para uma perda de 8,1% que, na verdade, é de 7,7%.

8.O que aumenta e o que reduz a duration

A duration é resultado da combinação entre prazo, distribuição dos fluxos, taxa e características do instrumento. Não existe regra única baseada apenas no vencimento.

E nos títulos IPCA+?

A sensibilidade de preço de um título indexado ao IPCA responde às mudanças na taxa real exigida pelo mercado. A inflação acumulada corrige o valor nominal do papel por outro caminho, mas a marcação a mercado reage ao juro real. Por isso um IPCA+ pode perder valor num mês de inflação alta: quem manda no preço é a taxa real, não o índice de preços.

9.Os números oficiais: a família IMA medida hoje

A ANBIMA publica, todo dia, a duration e a convexidade dos índices IMA — que são os benchmarks dos ETFs de renda fixa brasileiros. É a régua mais próxima do investidor comum, e quase ninguém a lê. A tabela abaixo foi extraída do arquivo diário da associação na referência de 12/08/2026.

Duas leituras saltam da tabela. A primeira: dentro da mesma família de indexador, a duration varia de 1,65 a 9,31 anos — quase seis vezes. A segunda, mais interessante: a convexidade não cresce na mesma proporção da duration. Do IMA-B 5 para o IMA-B 5+, a duration multiplica por 5,6 e a convexidade multiplica por 22,6. É o efeito do quadrado, e é o que a próxima seção destrincha.

Quanto isso vale em preço

Aplicando a fórmula de segunda ordem às métricas oficiais acima, dá para dimensionar o que um choque na curva faria com cada bloco. São estimativas, não repreciação exata:

No IMA-B 5+, a correção de convexidade vale 0,64 ponto percentual num choque de 100 bps e 2,55 pontos num choque de 200 bps. Quem estimar a perda só pela duration nessa ponta da curva vai errar por uma margem que, em renda fixa, é enorme.

O caso IMA-B 5 P2 × IMA-B 5+

As lâminas oficiais de março/2026 deixam a diferença de prazo ainda mais nítida dentro da mesma família de títulos indexados ao IPCA:

10.Mesma duration, convexidades diferentes

Aqui entra a parte que raramente aparece em material educacional brasileiro, e que a tabela da seção anterior deixou no ar: duas carteiras com a mesma duration não têm, necessariamente, a mesma convexidade. E a diferença entre elas tem um nome — dispersão.

Antes de afirmar qualquer coisa, foi preciso descobrir em que convenção a ANBIMA publica a convexidade, porque a associação não documenta a fórmula. A verificação: para a LTN de 01/10/2026, com prazo de 35 dias úteis e taxa de 13,6601%, o arquivo publica convexidade de 0,122442670168324. A fórmula clássica t(t+1)/(1+y)², com t medido em anos úteis, devolve exatamente o mesmo número. Convenção identificada — e os agregados de cada índice, refeitos a partir da composição papel a papel, também reproduzem o número publicado.

A decomposição

Com a convenção conhecida, dá para comparar cada índice contra uma referência artificial: um título único, zero cupom, com exatamente a mesma duration e o mesmo yield. Tudo o que sobra dessa comparação é curvatura que vem de outro lugar que não o prazo médio.

A decomposição é uma identidade, não uma aproximação: as três colunas da direita somam a convexidade real de cada índice (se você somar a tabela e encontrar 0,01 de diferença em alguma linha, é o arredondamento das duas casas exibidas). E a leitura é direta: no IMA-B, 53% da convexidade — 38,6 de 72,78 — não vem do prazo médio da carteira. Vem de duas coisas: o índice espalha capital entre uma NTN-B que vence em 2026 e outra que vence em 2060, e cada uma dessas NTN-Bs, por pagar cupons semestrais, já é internamente dispersa.

11.Duration em ETFs: a carteira real, medida

Um ETF de renda fixa não é um título caminhando para o vencimento. O fundo replica um índice, recebe fluxos, rebalanceia e substitui papéis que deixam de ser elegíveis. A consequência é que a duration do ETF é uma característica da carteira atual — e ela não encurta sozinha com o passar do tempo, como aconteceria com um título individual guardado na gaveta.

• O índice vende títulos que saíram da regra de prazo e compra vencimentos novos no rebalanceamento.
• Uma estratégia de duration-alvo mantém a sensibilidade relativamente estável ao longo dos anos, por desenho.
• A cota segue marcada a mercado todo dia: não existe "convergência para o valor de face" como em um papel levado ao vencimento.
• Por isso, a pergunta certa sobre um ETF de renda fixa nunca é "quando ele vence", e sim "qual é a duration da carteira e qual regra a mantém ali".

Medindo a duration de um ETF de verdade

Dá para sair da teoria. Todo fundo informa a carteira à CVM, posição a posição, e a ANBIMA publica a duration de cada título público. Cruzando as duas fontes, a duration da carteira de um ETF deixa de ser um dado do folheto e passa a ser uma medida verificável. Fizemos isso com a carteira do IMAB11 informada em 30/06/2026 e as durations oficiais de 12/08/2026:

A diferença é de 0,007 ano — cerca de dois dias úteis. Duas conclusões, e as duas úteis: o método funciona, e o fundo estava, naquela foto, praticamente colado no risco de taxa do índice que promete replicar. Fazendo o mesmo com o B5P211, a carteira devolve duration de 1,928 ano e convexidade de 6,57 — a exposição mais curta e mais mansa da dupla.

O que procurar na lâmina antes de comprar

12.Duration de portfólio: peso financeiro não é peso de risco

A duration de uma carteira, na aproximação tradicional, é a média das durations dos componentes ponderada por valor de mercado.

A fórmula é simples; a armadilha é a leitura. Um ativo pequeno em capital pode ser gigante em risco de taxa, e a média esconde isso atrás de um número de aparência inofensiva. Em vez de ilustrar isso com pesos inventados, vale mais usar uma carteira que existe.

O caso do AUPO11, com os pesos reais

O curso anterior mostrou que os chamados fundos "Smart Selic" mantêm uma fatia pequena de NTN-B longuíssima para atravessar a fronteira dos 720 dias de prazo médio de repactuação e cair na menor alíquota de IR. Agora dá para medir o preço em risco dessa engenharia. A carteira informada pelo AUPO11 à CVM em 31/07/2026 tem 18 posições: 17 LFTs e uma NTN-B com vencimento em 15/08/2060.

Ou seja: 9,4% do capital respondem por 99,7% da duration do fundo. Os outros 90,6% praticamente não reagem a movimentos de taxa, porque uma LFT tem a remuneração repactuada todo dia. Quem olhar apenas o rótulo "Selic" vai supor que a cota não se move; quem olhar a carteira descobre que toda a sensibilidade a juro real do produto está concentrada em menos de um décimo dele. O CDIB11, montado com a mesma lógica, devolve 1,196 ano pela mesma conta.

E a convexidade denuncia a estrutura

Esse é o exemplo mais didático possível da seção anterior. A convexidade da carteira do AUPO11 é 23,78. Um único título prefixado com a mesma duration de 1,21 ano, a uma taxa de 14% ao ano, teria convexidade de cerca de 2,0 — quase doze vezes menos. A duration média é a de uma aplicação curta; a curvatura é a de outra coisa inteiramente, porque a carteira é o caso extremo de dispersão: quase tudo no prazo zero e uma ponta em 2060.

A lógica de montagem, aliás, é a mesma do curso Estratégia Core-Satélite com ETFs, aplicada agora ao risco de juros: cada bloco existe para cumprir uma função, e a função vem antes do peso.

13.Os limites: a curva não se move inteira do mesmo jeito

A fórmula da duration supõe, implicitamente, um deslocamento pequeno e coerente da taxa relevante. Na prática, os diferentes vértices da curva de juros se movem em magnitudes e às vezes em direções distintas — e é exatamente aí que um número único começa a informar menos do que parece.

O próximo degrau da ferramenta chama-se key rate duration: em vez de um número para a curva inteira, ela mede a sensibilidade do preço a movimentos em pontos específicos da curva, mantendo os demais vértices parados. É o instrumento de quem precisa saber não apenas quanto a carteira reage, mas onde ela reage — e é o tema natural de um curso posterior sobre curva de juros. Para acompanhar a curva brasileira vértice a vértice, o portal publica a estrutura a termo do DI em Dados de Mercado → Juros Futuros.

Cenários em vez de previsão

Duration é mais útil como ferramenta de cenário do que como aposta direcional. Em vez de perguntar "os juros vão cair?", a pergunta produtiva é: "o que acontece com esta exposição se a taxa relevante subir ou cair 50, 100 ou 200 pontos-base?".

14.Erros frequentes e checklist final

1. Ler "duration 5" como "vence em 5 anos" — são coisas diferentes, e só coincidem no zero cupom.
2. Aplicar a duration como previsão exata: ela é aproximação de primeira ordem, e o erro cresce com o quadrado do choque.
3. Comparar a Macaulay de um produto com a modificada de outro, ou convenções de tempo diferentes, e achar que a diferença é informação.
4. Achar que IPCA+ não perde porque "protege da inflação" — a marcação responde à taxa real.
5. Supor que a duration de um ETF encurta com o tempo, como a de um título individual.
6. Confundir duration com prazo médio de repactuação: uma define oscilação, a outra define alíquota de IR.
7. Assumir que convexidade é sempre positiva — instrumentos com opcionalidade podem ter convexidade negativa.
8. Concluir que duration igual significa risco igual: curva, crédito, liquidez e dispersão podem ser completamente diferentes.
9. Achar que duration baixa elimina risco — ela reduz o risco de TAXA, e apenas ele.
10. Olhar só a média de prazo de uma carteira e ignorar a dispersão em torno dela.

Antes de assumir uma exposição de renda fixa

• Identifiquei o indexador: Selic, prefixado, IPCA, crédito ou combinação.
• Sei qual duration está publicada — Macaulay, modificada ou efetiva — e em que unidade.
• Confirmei a convenção: anos, dias úteis, frequência de capitalização.
• Olhei a distribuição de vencimentos, e não apenas a média.
• Entendi a regra de rebalanceamento do índice ou do ETF.
• Fiz os cenários de +50, +100 e +200 pontos-base na taxa relevante.
• Em carteiras longas, considerei a convexidade e o erro da aproximação linear.
• Separei risco de taxa de risco de crédito e de liquidez.
• Comparei a duration com o meu horizonte e com a minha tolerância a oscilação.
• Sei que vou reavaliar: a duration da carteira muda com preços, taxas e rebalanceamentos.

15.Conclusão e quiz

Duration diz quanto a carteira está exposta, em primeira ordem. Convexidade diz como essa exposição muda conforme a taxa anda. Juntas, elas fecham o caminho entre a manchete "os juros mexeram" e o fato consumado "a cota do meu ETF oscilou" — e transformam uma sensação difusa de risco em um número que você pode dimensionar antes de comprar, não depois.

Conteúdo exclusivamente educacional. Os índices, títulos e ETFs citados são exemplos reais, usados para demonstrar como se mede o risco de taxa de juros — não constituem recomendação de compra, venda ou alocação. Duration e convexidade são aproximações matemáticas e não preveem preços. Dados de mercado, carteiras e metodologias de índice mudam: a documentação vigente do fundo e do índice, na data da sua operação, sempre prevalece. Rentabilidade passada não representa garantia de rentabilidade futura, e fundos de investimento não contam com garantia do FGC.